몬티 홀 문제 풀이 (아주 쉬운 설명)

몬티 홀 문제 풀이

당신이 한 게임 쇼에서 3개의 문 중에 하나를 고를 수 있는 상황이라고 가정하자. 한 문 뒤에는 자동차가, 다른 두 문 뒤에는 염소가 있다. 당신이 1번 문을 고르자, 문 뒤에 무엇이 있는지 아는 사회자는 3번 문을 열어서 염소를 보여줬다. 그리고는 "2번 문으로 바꾸시겠습니까?"라고 물었다. 이 상황에서, 당신의 선택을 바꾸는 게 유리할까?

아주 유명한 문제입니다.

우선 정답을 알려드리자면 바꾸는 것이 이득입니다.

첫 번째 선택에서 당첨될 확률은 1/3이지만, 2번째 선택에서 당첨될 확률은 2/3이기 때문입니다.

해설

이 문제는 조건부 확률이 적용됩니다.

"사회자는 내가 고른 문을 열지 않는다", "사회자는 자동차와 염소가 어떤 문에 있는지 알고 있다"는 전제조건과, 이에 따라 "사회자가 자동차가 있는 문을 여는 일은 절대 발생하지 않는다"는 종속조건이 실제로 확률에 영향을 미칩니다.

이 문제에서 사회자가 염소 문을 하나 열었을 때 선택한 문을 바꾸는 행위는 염소 확률과 자동차 확률을 뒤바꾸게 됩니다. 처음 선택에서는 염소를 고를 확률이 더 높기 때문에, 몬티 홀 딜레마에서는 선택을 바꿔야 더 차를 얻을 확률이 높아집니다.

처음에 자동차를 골랐던, 염소를 골랐던 사회자는 염소가 있는 문을 열어주기 때문입니다. (꽝을 걸러줌)

만약 처음부터 하나의 문이 열려 있고 나머지 둘 중 하나를 선택해야 하는 것이라면, 열린 문은 애초에 선택지로 고려하지 않으므로 확률은 50%가 맞습니다. 그러나 양자택일의 행위가 아닌, 문을 바꾸는 행위에서 파생되는 확률이 66.6%이므로 둘은 엄연히 다릅니다. 이 미묘한 차이를 직관적으로 이해하기가 힘들기 때문에 착오가 벌어지는 것입니다.

모든 경우의 수를 따져봅시다.

1. 나는 문을 무조건 바꾼다

처음에 염소가 있는 문을 선택할 확률 = 2/3

- 사회자는 무조건 염소가 있는 문을 선택해서 열 수밖에 없다 = 1/1
- 문을 바꿨을 경우 자동차가 있을 확률 = 1/1
- 2/3 * 1/1 * 1/1 = 2/3

ii. 처음에 자동차가 있는 문을 선택할 확률 = 1/3

a) 사회자가 염소가 있는 문 중 첫번째 것을 선택할 확률 = 1/2

- 문을 바꿨을 경우 자동차가 있을 확률 = 0/1
- 1/3 * 1/2 * 0/1 = 0/6

b) 사회자가 염소가 있는 문 중 두번째 것을 선택할 확률 = 1/2

- 문을 바꿨을 경우 자동차가 있을 확률 = 0/1
- 1/3 * 1/2 * 0/1 = 0/6
- 0/6 + 0/6 = 0/6
- 2/3 + 0/6 = 2/3

따라서, 내가 문을 무조건 바꿀 때 자동차를 선택할 확률은 2/3이 된다.

2. 나는 문을 무조건 바꾸지 않는다.

처음에 염소가 있는 문을 선택할 확률 = 2/3

- 사회자는 무조건 염소가 있는 문을 선택해서 열 수밖에 없다 = 1/1
- 문을 바꾸지 않았을 경우 자동차가 있을 확률 = 0/1
- 2/3 * 1/1 * 0/1 = 0/3

ii. 처음에 자동차가 있는 문을 선택할 확률 = 1/3

a) 사회자가 염소가 있는 문 중 첫번째 것을 선택할 확률 = 1/2

- 문을 바꾸지 않았을 경우 자동차가 있을 확률 = 1/1
- 1/3 * 1/2 * 1/1 = 1/6

b) 사회자가 염소가 있는 문 중 두번째 것을 선택할 확률 = 1/2

- 문을 바꾸지 않았을 경우 자동차가 있을 확률 = 1/1
- 1/3 * 1/2 * 1/1 = 1/6
- 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3
- 0/3 + 1/3 = 1/3